ENG: At the Center for Geometry and Computational Design (GCD) (Institute for Discrete Mathematics and Geometry) at TU Wien, Musialski and his team developed a method that can be used to calculate what the flat, two-dimensional grid must look like in order to produce exactly the desired three-dimensional shape when it is unfolded. “Our method is based on findings in differential geometry, it is relatively simple and does not require computationally intensive simulations,” says Stefan Pillwein, first author of the current publication.

Suppose you screw ordinary straight bars together at right angles to form a grid, so that a completely regular pattern of small squares is created. Such a grid can be distorted: all angles of the grid change simultaneously, parallel bars remain parallel, and the squares become parallelograms. But this does not change the fact that all bars are in the same plane. The structure is still flat.

The crucial question now is: What happens if the bars are not parallel at the beginning, but are joined together at different angles? “Such a grid can no longer be distorted within the plane,” explains Przemyslaw Musialski. “When you open it up, the bars have to bend. They move out of the plane into the third dimension and form a curved shape.”

RO: La Centrul pentru Geometrie și Proiectare Computațională (GCD) (Institutul pentru Matematică Discretă și Geometrie) de la Universitatea Tehnică din Viena, Musialski și echipa sa au dezvoltat o metodă care poate fi folosită pentru a calcula cum trebuie să arate rețeaua plană, bidimensională, pentru a produce exact forma tridimensională dorită atunci când este desfășurată. “Metoda noastră se bazează pe descoperirile din geometria diferențială, este relativ simplă și nu necesită simulări intensive din punct de vedere computațional”, spune Stefan Pillwein, primul autor al publicației actuale.

Să presupunem că înșurubezi bare drepte obișnuite împreună în unghiuri drepte pentru a forma o grilă, astfel încât să se creeze un model complet regulat de pătrate mici. O astfel de grilă poate fi distorsionată: toate unghiurile grilei se schimbă simultan, barele paralele rămân paralele, iar pătratele devin paralelograme. Dar acest lucru nu schimbă faptul că toate barele se află în același plan. Structura este în continuare plată.

Întrebarea crucială este acum: Ce se întâmplă dacă barele nu sunt paralele la început, ci sunt unite între ele în unghiuri diferite? “O astfel de grilă nu mai poate fi distorsionată în interiorul planului”, explică Przemyslaw Musialski. “Când o deschizi, barele trebuie să se îndoaie. Ele ies din plan în a treia dimensiune și formează o formă curbă”.

You can read more in the paper (this version is adapted and abridged from Source Vienna University of Technology. “The mathematical magic of bending grids.” ScienceDaily. ScienceDaily, 24 August 2020.).

Pillwein, S., Leimer, K., Birsak, M. and Musialski, P., 2020. On elastic geodesic grids and their planar to spatial deployment. arXiv preprint arXiv:2007.00201.